Skip to main content

Теория: 05 Применение геометрических неравенств

Задание

Вершину \(\displaystyle A\) треугольника \(\displaystyle ABC\) соединили отрезком с точкой \(\displaystyle E\) на противоположной стороне.

На отрезке \(\displaystyle AE\) отметили точку \(\displaystyle D\) и соединили её отрезком с вершиной \(\displaystyle B{\small .}\)
 


Дополните доказательство неравенства для периметров треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\text :}\)

\(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\)

\(\displaystyle 1{\small .}\) Выпишем неравенство треугольника для сторон треугольника \(\displaystyle {\text :}\)

\(\displaystyle >\) \(\displaystyle {\small .}\)

\(\displaystyle 2{\small .}\) Выпишем неравенство треугольника для сторон треугольника \(\displaystyle {\text :}\)

\(\displaystyle >BD{\small .}\)

\(\displaystyle 3{\small .}\) Сложим два выписанных неравенства. После приведения подобных получим:

\(\displaystyle +CE>\) \(\displaystyle {\small .}\)

\(\displaystyle 4{\small .}\) Прибавив к обеим частям неравенства длину \(\displaystyle AB{\small ,}\) получим требуемое неравенство:

\(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\)

Решение

Восстановим доказательство по пунктам снизу вверх, последовательно заполняя пропуски.

В четвёртом пункте указан способ получения периметров треугольников. Это позволяет восстановить неравенство в третьем пункте.

Доказывается неравенство \(\displaystyle P_{ABC}>P_{ABD}\) для периметров треугольников \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ABD{\small .}\)

Распишем доказываемое неравенство периметров, подставляя суммы длин сторон треугольников:

\(\displaystyle AB+AC+BE+CE>AB+AD+BD{\small .}\)

Уберём слагаемое \(\displaystyle AB\) из обеих частей, так как оно добавлено только в последнем пункте:

\(\displaystyle AC+BE+CE>AD+BD{\small .}\)

Полученное неравенство должно быть результатом третьего пункта. Находим необходимые фрагменты и заполняем пропуски.

Неравенство во втором пункте содержит длину отрезка \(\displaystyle BD{\small .}\) Это позволяет идентифицировать рассматриваемый треугольник и восстановить пропущенную часть неравенства.

Отрезок \(\displaystyle BD\) может рассматриваться как сторона треугольника \(\displaystyle ABD\) или треугольника \(\displaystyle BDE{\small .}\)

Но длины стороны \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABD\) в восстановленном неравенстве третьего пункта нет. Значит, рассматривается треугольник \(\displaystyle BDE{\small .}\)

Выпишем неравенство треугольника для длины его стороны \(\displaystyle BD{\text :}\)

\(\displaystyle BE+DE>BD{\small .}\)

Заполняем пропуски второго пункта.

Чтобы восстановить неравенство первого пункта, достаточно сопоставить восстановленные неравенства третьего и второго пунктов.

Сопоставляя восстановленные неравенства второго и третьего пунктов, понимаем, что в последнем нет слагаемого \(\displaystyle DE{\small ,}\) зато содержатся отсутствующие ранее слагаемые \(\displaystyle AC{\small ,\;}AD\) и \(\displaystyle CE{\small .}\)

Этот состав отрезков однозначно указывает на треугольник \(\displaystyle ACE{\small .}\)

Выпишем для длин его сторон неравенство треугольника так, чтобы слагаемое \(\displaystyle AD\) попадало в правую часть:

\(\displaystyle AC+CE>AD+DE{\small .}\)

Убедившись, что это неравенство в сумме с неравенством второго пункта приводит к неравенству третьего, заполняем пропуски первого пункта.

После восстановления всего доказательства внимательно читаем его сверху вниз и убеждаемся в его правильности.
 

Ответ: