Из центра окружности \(\displaystyle O\) на прямые \(\displaystyle a{\small ,\;}b{\small ,\;}c{\small ,\;}d{\small ,\;}e{\small ,\;}f\) и \(\displaystyle g{\small}\) опущены перпендикуляры, соответственно падающие в точки \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C{\small ,\;}D{\small ,\;}E{\small ,\;}F\) и \(\displaystyle G{\small .}\)
Длины этих перпендикуляров известны:
\(\displaystyle OA=1{\small ,\;}OB=5{\small ,\;}OC=14{\small ,\;}OD=7{\small ,\;}OE=5{\small ,\;}OF=7\) и \(\displaystyle OG=17{\small .}\)
Известно, что только одна из рассматриваемых прямых не пересекает окружность, а остальные имеют общую точку, принадлежащую этой окружности. Среди прямых есть касательная к окружности и только две из прямых образуют угол величиной \(\displaystyle 60\degree {\small .}\)
Найдите прямые, соответствующие описаниям.
| ОПИСАНИЯ ПРЯМЫХ | ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРЯМЫХ |
| Касательная к окружности. | |
| Прямая, не пересекающая окружность. | |
| Две прямые, образующие угол величиной \(\displaystyle 60\degree {\small .}\) |
По условию только одна прямая не пересекает окружность. Согласно правилу, это значит, что только один перпендикуляр длиннее радиуса окружности. Таким может быть только \(\displaystyle OG~-\) самый длинный из данных перпендикуляров. Значит, прямая \(\displaystyle g\) не пересекает окружность.
Из оставшихся прямых одна должна быть касательной. Ею является та прямая, перпендикуляр к которой длиннее других, то есть прямая \(\displaystyle OC{\small .}\) Иначе расстояние от неё до центра окружности было бы больше радиуса (равного одному из других перпендикуляров). И это значило бы, что окружность не пересекают как минимум две прямые: \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle c{\small .}\)
Значит, касательной к окружности является прямая \(\displaystyle c{\small .}\)
При этом радиус окружности равен перпендикуляру \(\displaystyle OC{\text :}\)
\(\displaystyle r=OC=14{\small .}\)
Рассмотрим, например, прямую \(\displaystyle d{\small .}\) Опущенный на неё перпендикуляр \(\displaystyle OD\) имеет длину \(\displaystyle 7{\small ,}\) что в два раза меньше радиуса окружности.
Если в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы, то противолежащий ему угол имеет величину \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Значит величина угла \(\displaystyle DCO\) прямоугольного треугольника \(\displaystyle CDO\) составляет \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle CFO\) равен треугольнику \(\displaystyle CDO\) по катету и гипотенузе: гипотенуза \(\displaystyle CO\) у них общая, а перпендикуляры \(\displaystyle OD\) и \(\displaystyle OF\) равны по условию.
Равные углы \(\displaystyle FCO\) и \(\displaystyle DCO\) этих треугольников отложены от луча \(\displaystyle CO\) по разные стороны прямой \(\displaystyle CO{\small ,}\) так как иначе прямые \(\displaystyle d\) и \(\displaystyle f\) были бы одной и той же прямой.
Значит, величина угла \(\displaystyle DCF{\small ,}\) составленного из двух углов величинами по \(\displaystyle 30\degree {\small ,}\) равна \(\displaystyle 60\degree {\small .}\) По условию только две из данных прямых образуют такой угол. То есть \(\displaystyle d\) и \(\displaystyle f~-\) искомые прямые, составляющие угол величиной \(\displaystyle 60\degree{\small .} \)
| Ответ: |  |