Skip to main content

Теория: 20 Задачи на композицию движений повышенной сложности (короткая версия)

Задание

Сначала выполнили поворот на \(\displaystyle 90^{\circ}\) (против часовой стрелки) с центром в \(\displaystyle A(1;\,3)\small,\) а затем параллельный перенос на вектор \(\displaystyle \vec{a}\small.\) Известно, что результатом этих двух движений является поворот с центром \(\displaystyle B(-3;\,-2)\small.\)

Найдите координаты вектора \(\displaystyle \vec{a}\) и угол итогового поворота. (Укажите угол поворота против часовой стрелки.)

\(\displaystyle \vec{a}\big(\)
-9
\(\displaystyle ;\,\)
-1
\(\displaystyle \big)\) и \(\displaystyle \alpha=\)
90
\(\displaystyle ^{\circ}\)
Решение

У любого поворота (отличного от \(\displaystyle 0^{\circ}\)) есть одна неподвижная точка – центр поворота.

Центр итогового поворота – точка \(\displaystyle B(-3;\,-2)\small.\)

Значит, в результате первого поворота и параллельного переноса точка \(\displaystyle B(-3;\,-2)\) возвращается на свое место:

  • при повороте с центром \(\displaystyle A\) точка  \(\displaystyle B(-3;\,-2)\) переходит в \(\displaystyle B_1\small,\)
  • при параллельном переносе \(\displaystyle B_1\) возвращается в \(\displaystyle B\small.\)

    Тогда, чтобы решить задачу:

    • найдем, куда переходит точка  \(\displaystyle B(-3;\,-2)\) при первом повороте;
    • найдем координаты вектора \(\displaystyle \vec{a}\small,\)
    • найдем угол итогового поворота.
       

    1. Выполним поворот точки \(\displaystyle B(-3;\,-2)\) на \(\displaystyle 90^{\circ}\) (против часовой стрелки) с центром в \(\displaystyle A(1;\,3){\small:}\)

    То есть после поворота точка \(\displaystyle B\) перешла в точку \(\displaystyle B_1\) с координатами \(\displaystyle (6;\,-1)\small.\)


    2. При параллельном переносе \(\displaystyle B_1\) должна перейти в \(\displaystyle B\small.\) То есть \(\displaystyle \vec{a}=\overrightarrow{B_1B}\small.\)

    Координаты вектора равны разности координат концов.

    Концы вектора \(\displaystyle B_1B\) равны:  \(\displaystyle B(-3;\,-2)\) и  \(\displaystyle B_1(6;\,-1)\small.\)

    Тогда координаты вектора \(\displaystyle B_1B\) равны:

    \(\displaystyle (-3-6;\,-2-(-1))=(-9;\,-1)\small.\)


    3. Найдем угол итогового поворота.

    Для этого посмотрим, куда переходит точка \(\displaystyle A\) в результате поворота и параллельного переноса:

    • при повороте с центром в \(\displaystyle A\) точка \(\displaystyle A\) остается на месте,
    • при параллельном переносе точка \(\displaystyle A\) смещается на вектор \(\displaystyle \vec{a}(-9;\,-1)\small.\)

    Угол \(\displaystyle ABA_1\) равен \(\displaystyle 90^{\circ}\small.\)

    То есть угол итогового поворота \(\displaystyle \alpha=90^{\circ}\) (против часовой стрелки).