На отрезке \(\displaystyle PQ\) отмечена произвольная точка \(\displaystyle F{\small .}\)
Проведены две окружности: первая с центром \(\displaystyle P\) и радиусом \(\displaystyle PF\) и вторая с центром \(\displaystyle Q\) и радиусом \(\displaystyle QF{\small .}\)
В точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) прямая \(\displaystyle AB\) касается соответственно первой и второй окружностей.
Подберите подходящие фрагменты и составьте из них одно из возможных рассуждений, доказывающих перпендикулярность отрезков \(\displaystyle AF\) и \(\displaystyle BF{\small .}\)
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 5{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 6{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 7{\small .}\) |
Доказательство должно начинаться с дополнительного построения. В ходе него в рассмотрении появляются точка \(\displaystyle M\) и прямая \(\displaystyle FM{\small .}\)
Важно, чтобы последняя являлась касательной к окружности. Для этого видны несколько путей:
- построить медиану треугольника \(\displaystyle ABF\) и доказать, что содержащая её прямая касается обеих окружностей;
- провести касательную к одной из окружностей и доказать, что она касается другой, а полученная точка \(\displaystyle M\) является серединой отрезка \(\displaystyle AB{\text ;}\)
- провести через точку \(\displaystyle F\) перпендикулярную прямой \(\displaystyle PQ\) прямую и доказать, что она касается обеих окружностей и делит отрезок \(\displaystyle AB\) пополам.
Для первых двух путей отыскиваются начальные фрагменты, но нет подходящих фрагментов для продолжения.
Выбираем третий путь: через точку \(\displaystyle F\) проводим перпендикулярную отрезку \(\displaystyle PQ\) прямую и получаем её общую с отрезком \(\displaystyle AB\) точку \(\displaystyle M{\small .}\)
Проходящая через точку окружности прямая, перпендикулярная проведённому в эту точку радиусу, является касательной к этой окружности.
По признаку касательной, прямая \(\displaystyle FM\) касается обеих окружностей в точке \(\displaystyle F{\small .}\)
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, соединяющие эту точку с точками касания, равны.
Значит, по свойству отрезков касательных к окружности, равны отрезки \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle FM{\small ,}\) а также отрезки \(\displaystyle FM\) и \(\displaystyle BM{\small ,}\) то есть все три отрезка \(\displaystyle AM{\small ,\;}BM\) и \(\displaystyle FM\).
Находим три подходящих фрагмента и заполняем первые три пункта.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Значит,
- в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle AFM\) равны углы \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle FAM{\text ;}\)
- в равнобедренном треугольнике \(\displaystyle BFM\)равны углы \(\displaystyle BFM\) и \(\displaystyle FBM{\small .}\)
Добавим ещё два этих пункта к доказательству.
Сумма величин трёх углов треугольника равна \(\displaystyle 180\degree {\small .}\)
Запишем это для углов треугольника \(\displaystyle ABF{\text :}\)
\(\displaystyle \angle MAF+\angle MBF+\angle AFB=180\degree {\small .}\)
В этом равенстве распишем величину угла \(\displaystyle AFB\) как сумму величин его составных частей:
\(\displaystyle \angle MAF+\angle MBF+\angle AFM+\angle BFM=180\degree {\small .}\)
Заменив углы \(\displaystyle MAF\) и \(\displaystyle MBF\) на равные им углы \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle BFM{ \small ,}\) получим:
\(\displaystyle 2\cdot (\angle AFM+\angle BFM)=180\degree {\small .}\)
Это значит, что равенство \(\displaystyle \angle AFM+\angle BFM=90\degree\) выводится из теоремы о сумме углов треугольника.
Остаётся только вспомнить, что сумма величин углов \(\displaystyle AFM\) и \(\displaystyle BFM\) равна величине угла \(\displaystyle AFB{\small ,}\) составленного из них как из частей.
Значит, \(\displaystyle \angle AFB=90\degree {\small .}\)
Находим два подходящих фрагмента и заполняем две последних строки.
| Ответ: |  |