Дана функция
\(\displaystyle y=-2-\frac{x+4}{x^2+4x}\small.\)
Выберите функцию, которая
- имеет ту же область определения, что и заданная функция;
- для каждого \(\displaystyle x \) из области определения заданной функции, принимает те же значения.
Если дробь \(\displaystyle \frac{x+4}{x^2+4x}\) просто сократить, то получим
\(\displaystyle \frac{x+4}{x^2+4x}=\frac{1}{x}\)
При этом левая и правая части выражения имеют разные области допустимых значений:
- дробь \(\displaystyle \frac{x+4}{x^2+4x}\)не определена при \(\displaystyle x=0\) и \(\displaystyle x=-4{\small ; } \)
дробь \(\displaystyle \frac{1}{x}\)не определена при \(\displaystyle x=0\small.\)
Равенство выражений имеет место только для тех \(\displaystyle x\small,\) для которых определены оба выражения.
Поэтому нужно обязательно записать область определения исходной функции.
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0\) и \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-4\small.\)
Знаменатель дроби не равен \(\displaystyle 0{\small:}\)
\(\displaystyle x^2+4x\,\cancel{=}\,0,\)
\(\displaystyle x(x+4)\,\cancel{=}\,0,\)
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0\) и \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-4\small.\)
Будем преобразовывать выражение на полученной области определения:
\(\displaystyle -2-\frac{x+4}{x^2+4x}=-2-\frac{\cancel{x+4}}{x\cancel{(x+4)}}=-2-\frac{1}{x}\small.\)
Полученное выражение рассматриваем на области определения исходной функции:
\(\displaystyle y=-2-\frac{1}{x}\) при \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle y=-2-\frac{1}{x}\) при \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-4\small.\)