Построили график функции
\(\displaystyle y=-2-\frac{1}{x}\) при \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-4\small.\)
1. Укажите уравнение горизонтальной асимптоты этой гиперболы:
\(\displaystyle y=\).
2. На рисунке можно менять значение параметра \(\displaystyle m\small,\) двигая ползунок.
Определите, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) не имеет с графиком общих точек.
Выберите верный ответ:
1. Напомним, что гипербола \(\displaystyle y=-2-\frac{1}{x}\) получается из гиперболы \(\displaystyle y=-\frac{1}{x}\) сдвигом на две единицы вниз.
Тогда уравнение горизонтальной асимптоты этой гиперболы:
\(\displaystyle y=-2\small.\)
Также напомним, что выколотая точка имеет координаты \(\displaystyle (-4;\,-1{,}75)\)
Прямая \(\displaystyle y=m\) – горизонтальная прямая.
Горизонтальная прямая не имеет точек пересечения c построенным графиком, если
- эта прямая – горизонтальная асимптота,
- эта прямая проходит через выколотую точку графика.
Таким образом, прямая \(\displaystyle y=m\) не имеет с графиком общих точек при
\(\displaystyle m\in\{ -2\}\cup\{-1{,}75\}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle m\in\{ -2\}\cup\{-1{,}75\}\small.\)