Skip to main content

Теория: 11 Построение треугольника по трём сторонам

Задание

Требовалось построить несколько треугольников с данной стороной \(\displaystyle AB\) и двумя другими сторонами, длины которых \(\displaystyle s\) и \(\displaystyle t\) равны длинам данных отрезков. Длины всех трёх данных отрезков различны.

Для решения задачи построены четыре окружности: радиусами \(\displaystyle s\) и \(\displaystyle t\) и центрами \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{\small .}\) Отмечены и обозначены некоторые из точек их пересечений.

Выберите треугольники с вершинами в обозначенных точках, являющиеся решениями задачи.

Решение

Две вершины искомого треугольника заданы его стороной \(\displaystyle AB{\small .}\)

Найдём точки, подходящие на роль третьей вершины, пользуясь правилом построения треугольника по данной стороне и отрезкам, равным двум другим сторонам.

построение треугольника по трём сторонам

Если нужно построить треугольник с данной стороной \(\displaystyle AB\), две другие стороны которого равны данным отрезкам, то строят две окружности с центрами в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и радиусами, равными данным отрезкам. Любую из точек пересечения этих окружностей можно принять за третью вершину \(\displaystyle C\) искомого треугольника.

 

Важно помнить, что построение треугольника с данными длинами сторон возможно при условии, что большая из них меньше суммы двух других.

Например, на рисунке выше \(\displaystyle c<a+b{\small .}\)  

На рисунке задачи ищем точки пересечения окружностей разных радиусов с центрами в концах отрезка \(\displaystyle AB{\small .}\)

1. Рассмотрим окружность с центром в точке \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle s\small.\) Ей в пару можно поставить только окружность с центром в точке \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle t\small.\)

Эти окружности пересекаются в точке \(\displaystyle K\small.\)

То есть треугольник \(\displaystyle ABK\) является решением задачи.

 

2. Если же для построения одной из сторон использовали окружность с центром в точке \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle t\small,\) то для получения второй стороны треугольника можно взять только окружность с центром в точке \(\displaystyle B\) и радиусом \(\displaystyle s\small.\)
При пересечении этих окружностей получаются две точки: \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\small.\)

Это означает, что треугольники \(\displaystyle ABM\) и \(\displaystyle ABP\) также являются решениями исходной задачи.


Таким образом, на роль третьей вершины искомого треугольника подходят три точки: \(\displaystyle K\small,\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\small.\)
 

Ответ: подходящими треугольниками являются \(\displaystyle {\bf\triangle}ABK{\small ,\;}{\bf\triangle}ABM\) и \(\displaystyle {\bf\triangle}ABP{\small .}\)