Skip to main content

Теория: 11 Построение треугольника по трём сторонам

Задание

Дана сторона \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) а также отрезки  длинами \(\displaystyle R\) и \(\displaystyle b\small,\) соответственно равными радиусу описанной окружности и длине стороны \(\displaystyle AC{\small .}\)

Дополните описание одного из возможных построений треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)

\(\displaystyle 1{\small .}\)

Получаем центр \(\displaystyle O\) описанной окружности искомого треугольника. Для этого выбираем одну из точек пересечения двух окружностей:

  • с центром \(\displaystyle A\) и радиусом 
  • с центром  и радиусом 
    R
\(\displaystyle 2{\small .}\)

Строим сторону искомого треугольника.

Для этого соединяем точку 
A
с одной из точек пересечения двух окружностей:
  • с центром 
    A
    и радиусом \(\displaystyle b\)
  • с центром 
    O
    и радиусом 
    R
\(\displaystyle 3{\small .}\)

Заканчиваем построение искомого треугольника.

Соединяем отрезком точки 

 

Решение

Предположим, что искомый треугольник построен. Опишем около него окружность и найдём элементы, равные данным в условии отрезкам.

Изобразим искомый треугольник вписанным в окружность с центром \(\displaystyle O{\small .}\)

Проведём радиусы к вершинам и отметим равные отрезки.

Центр описанной около треугольника окружности изначально не дан. Однако в треугольнике \(\displaystyle ABO\) известна сторона \(\displaystyle AB\) и среди данных задачи есть отрезок, равный сторонам \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO{\small .}\) Это позволяет найти центр окружности, пользуясь правилом построения треугольника по трём сторонам.
 

Когда треугольник \(\displaystyle ABO\) будет построен, тот же приём можно будет использовать по отношению к треугольнику \(\displaystyle ACO{\small .}\) В нём будет построена сторона \(\displaystyle AO{\small ,}\) а стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle CO\) равны данным в условии отрезкам.
 

После построения треугольника \(\displaystyle ACO\) останется только соединить полученную вершину \(\displaystyle C\) с вершиной \(\displaystyle B{\small .}\)
 

Намеченный план решения соответствует дополняемому описанию.

1. Применяем правило построения треугольника по трём сторонам для получения центра описанной окружности исходного треугольника.

Для получения третьей вершины \(\displaystyle O\) треугольника \(\displaystyle ABO\) по правилу нужно построить две окружности с центрами в концах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) данной по условию его стороны.

Радиусы этих окружностей нужно брать равными длинам сторон \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle BO{\small .}\) В нашем случае обе стороны имеют длину \(\displaystyle R{\small .}\)

 

2. Применяем правило построения треугольника по трём сторонам для получения третьей вершины \(\displaystyle C\) треугольника \(\displaystyle AOC{\small .}\)

Для получения точки \(\displaystyle C\small,\) служащей вершиной как треугольнику \(\displaystyle AOC{\small ,}\) так и искомому треугольнику, по правилу нужно построить две окружности с центрами в концах отрезка \(\displaystyle AO{\small .}\)

Радиус окружности с центром \(\displaystyle A\) следует брать равным длине \(\displaystyle b\) стороны \(\displaystyle AC{\small .}\)

Радиус окружности с центром \(\displaystyle O\) равен длине стороны \(\displaystyle CO{\small ,}\) то есть радиусу \(\displaystyle R\) описанной около искомого треугольника окружности.

3. Остаётся провести третью сторону искомого треугольника.

Соединив полученную вершину \(\displaystyle C\) с вершиной \(\displaystyle B\small,\) получим искомый треугольник \(\displaystyle ABC{\small .}\)

Ответ: