Skip to main content

Теория: 05 Теорема Фалеса (короткая версия)

Задание

Точки \(\displaystyle X\) и \(\displaystyle Y\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) Могут ли прямые \(\displaystyle BY\) и \(\displaystyle DX\) быть параллельными?

(Длины всех сторон трапеции положительные числа. Боковые стороны трапеции не параллельны.)

Решение

Вспомним теорему о пропорциональных отрезках.

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения.

Отметим точку пересечения буквой \(\displaystyle O\) и обозначим длины отрезков:

  • \(\displaystyle AX=XB=x,\)
  • \(\displaystyle CY=YD=y,\)
  • \(\displaystyle BO=a\) и \(\displaystyle CO=b\small.\)


Основания трапеции параллельны: \(\displaystyle AD\parallel BC{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{x}{y}{\small.}\)

Предположим, что прямые \(\displaystyle BY\) и \(\displaystyle DX\) параллельны.

Тогда

\(\displaystyle \frac{a}{b+y}=\frac{x}{y}\small.\)

Но тогда

 

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{x}{y}=\frac{a}{b+y}\small.\)

Откуда \(\displaystyle y=0\small,\) что невозможно по условию.

Значит, предположение было неверным. Прямые \(\displaystyle BY\) и \(\displaystyle DX\) не могут быть параллельны.

Ответ: Нет, не могут.