Skip to main content

Теория: Возведение в квадрат выражения, содержащего корень квадратный - 2

Задание

Найдите квадрат разности:

\(\displaystyle (\sqrt{3a}-\sqrt{3b}\,)^2=\)
3a-6\sqrt{ab}+3b

В ответе запишите выражение с приведенными подобными слагаемыми и одним корнем.
Под корнем не должно быть множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.

Решение

Раскроем скобки в выражении \(\displaystyle (\sqrt{3a}-\sqrt{3b}\,)^2{\small , }\) используя формулу квадрата разности.

Квадрат разности

Получаем:

\(\displaystyle (\sqrt{3a}-\sqrt{3b}\,)^2= \left(\sqrt{3a}\,\right)^2- 2\cdot \sqrt{3a}\cdot \sqrt{3b}+ \left(\sqrt{3b}\,\right)^2 {\small . }\)

По определению корня,

\(\displaystyle \left(\sqrt{ 3a}\,\right)^2=3a \) и \(\displaystyle \left(\sqrt{ 3b}\,\right)^2=3b{\small . } \)

Кроме того, по свойствам корня

\(\displaystyle \sqrt{ 3a}\cdot \sqrt{ 3b}=\sqrt{ 3a\cdot 3b}= \sqrt{ 9ab}= \sqrt{ 3^2ab}=3\sqrt{ ab}{\small . } \)

Значит,

\(\displaystyle \left(\sqrt{3a}\,\right)^2- 2\cdot \sqrt{3a}\cdot \sqrt{3b}+ \left(\sqrt{3b}\,\right)^2= 3a- 2\cdot 3\sqrt{ ab}+3b= 3a- 6\sqrt{ ab}+3b {\small . }\)


Ответ: \(\displaystyle 3a- 6\sqrt{ ab}+3b {\small . }\)