| Квадратное уравнение | \(\displaystyle \frac{4}{5}x^2-3x-\frac{1}{4}=0\) | \(\displaystyle \frac{81}{4}x^2+12x+\frac{16}{9}=0\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0\) |
| Дискриминант | \(\displaystyle {\rm D}=\) | \(\displaystyle {\rm D}=\) | \(\displaystyle {\rm D}=\) |
| Число решений |
Вычислим по порядку в каждом из уравнений дискриминанты и определим по их значению число решений.
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle \frac{4}{5}x^2-3x-\frac{1}{4}=\color{blue}{ \frac{4}{5}}x^2\color{green}{ -3}x\color{red}{ -\frac{1}{4}}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{\frac{4}{5}}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -3}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -\frac{1}{4}}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -3})^2-4\cdot \color{blue}{ \frac{4}{5}}\cdot \left(\color{red}{ -\frac{1}{4}}\right)=9+\frac{ 4}{5}=\frac{ 49}{5}{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=\frac{ 49}{5}>0{ \small ,} \) то уравнение имеет два решения.
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle \frac{81}{4}x^2+12x+\frac{16}{9}=\color{blue}{ \frac{81}{4}}x^2+\color{green}{ 12}x+\color{red}{ \frac{16}{9}}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ \frac{81}{4}}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 12}, \color{red}{ c}=\color{red}{ \frac{16}{9}}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 12}^2-4\cdot \color{blue}{ \frac{81}{4}}\cdot \color{red}{ \frac{16}{9}}=144-144=0{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small ,} \) то уравнение имеет одно решение (два совпадающих решения).
Перепишем уравнение, выделив его коэффициенты явно:
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=\color{blue}{ -\frac{1}{2}}x^2+\color{green}{ \frac{2}{3}}x\color{red}{ -\frac{1}{3}}{\small . }\)
Тогда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ -\frac{1}{2}}, \color{green}{ b}=\color{green}{ \frac{2}{3}}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -\frac{1}{3}}{\small .} \)
Воспользуемся формулой для вычисления дискриминанта.
Дискриминант квадратного уравнения
\(\displaystyle \color{blue}{ a}X^2+\color{green}{ b}X+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle {\rm D}= \left(\color{green}{ \frac{2}{3}}\right)^2-4\cdot \left(\color{blue}{ -\frac{1}{2}}\right)\cdot \left(\color{red}{ -\frac{1}{3}}\right)=\frac{4}{9}-\frac{2}{3}=\frac{4-6}{9}=-\frac{2}{9}{\small .}\)
Далее определим число решений квадратного уравнения, воспользовавшись правилом.
Число решений квадратного уравнения
Уравнение \(\displaystyle aX^2+bX+c=0\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle {\rm D}>0{\small ;}\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle {\rm D}= 0{\small ;}\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle {\rm D}<0{\small .}\)
Значит, так как \(\displaystyle {\rm D}=-\frac{2}{9}<0{ \small ,} \) то уравнение не имеет решений.