Skip to main content

Теория: Разложение квадратичного многочлена на множители

Задание

Разложите квадратный трехчлен на множители:

\(\displaystyle x^2+10x+21=(\)\(\displaystyle )(\)\(\displaystyle )\)
Решение

Выделим коэффициенты в данном квадратном трехчлене:

\(\displaystyle x^2+10x+21=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 10}x+\color{blue}{ 21}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 10}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 21}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2+10x+21=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Корни квадратного уравнения

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{ 10}^2-4\cdot \color{blue}{ 21}=100-84=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 16}=4{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-10+4}{2}=\frac{-6}{2}=-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-10-4}{2}=\frac{-14}{2}=-7{\small .}\)


Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle -7{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2+10x+21=\color{red}{ 1}\cdot (x-(-7))(x-(-3))=(x+7)(x+3) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (x+7)(x+3){\small .} \)