Выберите число, равное выражению
\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}{\small .}\)
Способ 1.
Вынесем из под квадратных корней все множители в квадратах. Для этого разложим сначала \(\displaystyle 512\) на множители:
\(\displaystyle 512=2^9{\small .}\)
Выделим каждый множитель в наибольшей четной степени:
\(\displaystyle 512=2^9=2^{\color{blue}{8}+1}=2^{\color{blue}{8}}\cdot 2^1=\color{blue}{2^8} \cdot 2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \sqrt{512}=\sqrt{\color{blue}{2^8}\cdot 2}=\sqrt{\color{blue}{2^8}}\cdot \sqrt{2}=\color{blue}{2^4}\cdot\sqrt{2}{\small .}\)
Теперь разложим на множители \(\displaystyle 8{\small : }\)
\(\displaystyle 8=2^3{\small .}\)
Выделим каждый множитель в наибольшей четной степени:
\(\displaystyle 8=2^3=2^{\color{green}{2}+1}=2^{\color{green}{2}}\cdot 2^1=\color{green}{2^2} \cdot 2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{\color{green}{2^2}\cdot 2}=\sqrt{\color{green}{2^2}}\cdot \sqrt{2}=\color{green}{2}\sqrt{2}{\small .}\)
Подставим в числитель и знаменатель дроби преобразованные иррациональные выражения:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=\frac{2^4\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}{\small .}\)
Данную дробь можно сократить на \(\displaystyle 2\sqrt{2}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=8{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .} \)
Способ 2.
Используя свойство квадратного корня для дроби, перепишем наше выражение:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}= \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}{\small . } \)
Сократим дробь под корнем:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{ 512}{ 8 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 256}{ 2\cdot 4 }}= \sqrt{\frac{ 256}{ 4 }}= \sqrt{\frac{ 2\cdot 128}{ 2\cdot 2}}= \sqrt{64} {\small . }\)
Поскольку \(\displaystyle 64 \) является полным квадратом, то, извлекая из него квадратный корень, получаем:
\(\displaystyle \sqrt{64}=8{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}=8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .} \)