Skip to main content

Теория: Признак делимости на 7

Задание

Делится ли число \(\displaystyle 2367\) на \(\displaystyle 7\)?

Решение

Правило

Признак делимости на 7

Чтобы определить, делится ли число на \(\displaystyle 7\), надо:

1. Взять исходное число без последней цифры.

2. К полученному на первом шаге числу прибавить последнюю цифру исходного числа, умноженную на \(\displaystyle 5\).

Число делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда сумма, полученная на втором шаге, делится на \(\displaystyle 7\).

 

Пояснение

Признак делимости на 7 для четырехзначных чисел

Для четырехзначного числа признак делимости на \(\displaystyle 7\) можно сформулировать следующим образом:

1.   \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}{\color{blue}W} \rightarrow {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}\).

2.   \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}+5\cdot{\color{blue}W}\).

Число \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}{\color{blue}W}\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle {\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z}+5\cdot{\color{blue}W}\) делится на \(\displaystyle 7\).

 

Дано число \(\displaystyle 2367\). Произведем вычисления в соответствии с описанным выше правилом.

1. Отбрасываем последнюю цифру у исходного числа:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}{\color{blue}7} \rightarrow {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}\).

2. Вычисляем:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}3}{\color{green}6}+5 \cdot {\color{blue}7} = 271\).

Число \(\displaystyle 2367\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle 271\) делится на \(\displaystyle 7\).

 

Проверим, делится ли на на \(\displaystyle 7\) трехзначное число \(\displaystyle 271\, (={\color{blue}X}{\color{red}Y}{\color{green}Z})\). Тогда \(\displaystyle {\color{blue}X=2}, {\color{red}Y=7}, {\color{green}Z=1}\).

1. Отбрасываем последнюю цифру у исходного числа:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}7}{\color{green}1} \rightarrow {\color{blue}2}{\color{red}7}\).

2. Вычисляем:

\(\displaystyle {\color{blue}2}{\color{red}7}+5 \cdot {\color{green}1} = 32\).

Число \(\displaystyle 271\) делится на \(\displaystyle 7\) тогда и только тогда, когда число \(\displaystyle 32\) делится на \(\displaystyle 7\).

 

Так как \(\displaystyle 32\) не делится на \(\displaystyle 7\), то и \(\displaystyle 271\) также не делится на \(\displaystyle 7\).

Так как \(\displaystyle 271\) не делится на \(\displaystyle 7\), то и \(\displaystyle 2367\) также не делится на \(\displaystyle 7\).

 

Ответ: нет, не делится на \(\displaystyle 7\).