Решите неравенство
\(\displaystyle x^2 - 3x -4>0{\small ,}\)
если известен график параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4{\small.}\)
Для решения неравенства \(\displaystyle x^2 - 3x -4>0\) надо найти те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) которые дают значение \(\displaystyle x^2 - 3x -4 \) больше нуля.
Для параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4 \) это означает, что надо найти те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y \) больше нуля.
То есть нужно определить те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small . }\)
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small : }\)
Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:
Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (без точек пересечения, так как в них \(\displaystyle x^2 - 3x -4=0\)).
То есть это все точки левее \(\displaystyle -1 \) и правее \(\displaystyle 4{\small :}\)
Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:
На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых меньше \(\displaystyle -1 \) или больше \(\displaystyle 4{ \small .} \)
То есть это все точки, для которых \(\displaystyle x<-1 \) или \(\displaystyle x>4{\small .} \)
Переписывая это в виде интервала, получаем:
\(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1)\cup (4;\, +\infty){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1)\cup (4;\, +\infty){\small .}\)