Теория: Решение квадратного неравенства геометрическим способом

Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle x^2-5x+6>0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y>0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small . }\)

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6>0 \) надо:

• найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small ;} \)
• начертить график параболы \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) с учетом найденных точек пересечения;
• записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих выше оси \(\displaystyle \rm OX{ \small .} \)

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=1{\small . } \)

Тогда корни уравнения равны

\(\displaystyle x_{1{ \small ,}2}= \frac{ -b\pm \sqrt{ \rm D} }{ 2a }{\small ; }\)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -(-5)+\sqrt{ 1} }{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -(-5)-\sqrt{ 1} }{ 2 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=3{ \small ,}\, x_2=2 { \small .}\)

Начертим график параболы с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX \) (точки пересечения с параболой не выделяем, так как в них \(\displaystyle x^2-5x+6=0\)):

Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:

Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (без точек пересечения, так как в них \(\displaystyle x^2-5x+6=0\)).

Следовательно, искомое решение – это все точки прямой левее \(\displaystyle 2 \) и правее \(\displaystyle 3{\small :}\)

Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:

Это точки с координатой \(\displaystyle x \) меньше \(\displaystyle 2 \) или больше \(\displaystyle 3{ \small .} \)

То есть это все точки на прямой \(\displaystyle \rm OX\), для которых \(\displaystyle x<2 \) или \(\displaystyle x>3{\small .} \)

Переписывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;\,2)\cup (3;\, +\infty){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\,2)\cup (3;\, +\infty){\small .}\)