Skip to main content

Теория: Решение квадратного неравенства геометрическим способом (в стадии наполнения)

Задание

Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:

\(\displaystyle 4x^2-12x+9\le 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \)
\left\{\frac{3}{2}\right\}
Решение

Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle 4x^2-12x+9\le 0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=4x^2-12x+9 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\le 0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как ниже оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как ниже точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так  и на самой оси.

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle 4x^2-12x+9\le 0 \) надо:

  • найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle 4x^2-12x+9=0{\small ;} \)
  • начертить график параболы \(\displaystyle y=4x^2-12x+9 \) с учетом найденных точек пересечения;
  • записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как ниже оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,} \) так и на ней.

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle 4x^2-12x+9=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=0{\small . } \)

Поскольку дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих).

Получаем:

\(\displaystyle x= \frac{ -b}{ 2a }{\small ; }\)

\(\displaystyle x=\frac{ -(-12)}{ 2\cdot 4 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }{ \small .}\)

Начертим график параболы. Так как дискриминант \(\displaystyle {\rm D}=0{ \small ,} \) то парабола имеет одну точку пересечения с осью \(\displaystyle \rm OX \) (касается ее) в точке \(\displaystyle x=\frac{ 3}{ 2 }{\small .} \)

Получаем:


Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как ниже оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:


Точка касания параболы оси \(\displaystyle \rm OX \) при \(\displaystyle x=\frac{3}{2}\) лежит на этой оси и попадает в нужную область. Других точек нет.

Записывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in \left\{\frac{3}{2}\right\}{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in \left\{\frac{3}{2}\right\}{\small .} \)