Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:
\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .}\)
Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .} \)
Для параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\ge 0{\small .} \)
То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle Ox {\small , }\) так и на ней.
Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox{\small ,} \) так и на самой оси.
Значит, для решения неравенства \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0 \) надо:
- найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ;} \)
- начертить параболу \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) с учетом найденных точек пересечения;
- записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как выше оси \(\displaystyle Ox {\small , }\) так и на ней.
Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox{\small ,} \) решив уравнение
\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small .} \)
Начертим параболу с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox{\small :} \)
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle Ox {\small , }\) так и на ней:
Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:
Получаем, что это точки, лежащие справа и слева от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle Ox\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0\)).
Следовательно, искомое решение – это все точки прямой правее \(\displaystyle -10\) и левее \(\displaystyle 2{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -10\) и \(\displaystyle 2{\small :}\)
Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:
На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых больше либо равна \(\displaystyle -10 \) и меньше либо равна \(\displaystyle 2{ \small .} \)
То есть это все точки, для которых \(\displaystyle -10\le x\le 2{\small .} \)
Переписывая это в виде интервала, получаем:
\(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)