Найдите наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 30\), используя алгоритм Евклида и формулу
\(\displaystyle \text{НОК}(a,b)= \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}{\small .}\)
\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30) = \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\)
Алгоритм Евклида для НОД(a, b)
1. Пусть \(\displaystyle b>a{\small .}\) Делим большее \(\displaystyle b\) на меньшее \(\displaystyle a\) с остатком:
\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r} {\small .}\)
2. \(\displaystyle \text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,{\bf r}) {\small .}\)
3. Если \(\displaystyle {\bf r}=0{\small ,}\) то \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})=a {\small .}\) Если \(\displaystyle {\bf r}=\not 0{\small ,}\) то ищем \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})\) (но теперь \(\displaystyle a>{\bf r}\)).
Если \(\displaystyle \text{НОД}(a, b)\) найден, то
\(\displaystyle \text{НОК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30){\small :}\)
1. Так как \(\displaystyle 30> 5{\small ,}\) то делим \(\displaystyle 30\) на \(\displaystyle 5\) с остатком: \(\displaystyle 30=5\cdot 6+{\bf 0}{\small .}\)
2. \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=\text{НОД}(5,{\bf 0}){\small .}\)
3. \(\displaystyle \text{НОД}(5,{\bf 0})=5{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=5{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30){\small :}\)
\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)= \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\frac{5\cdot 30}{5}=30{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)=30{\small .}\)