Решите уравнение:
\(\displaystyle (x-2)+\frac{11x+3}{9x+1}=0\)
Так как \(\displaystyle 9x+1\) – знаменатель дроби, то \(\displaystyle 9x+1\) – ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle 9x+1{\small :}\)
\(\displaystyle 1=\frac{9x+1}{9x+1}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle (x-2)=(x-2)\cdot 1=(x-2)\cdot \frac{9x+1}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \color{green}{ (x-2)}+\frac{11x+3}{9x+1}=\color{green}{ \frac{(x-2)(9x+1)}{9x+1}}+\frac{11x+3}{9x+1}=\frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}{\small . }\)
Раскроем скобки и приведем подобные в числителе получившейся дроби:
\(\displaystyle \begin{aligned} \frac{(x-2)(9x+1)+11x+3}{9x+1}&= \frac{x\,(9x+1)-2(9x+1)+11x+3}{9x+1}=\\&=\frac{9x^{\,2}+x-18x-2+11x+3}{9x+1}=\frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}{\small . }\end{aligned} \)
Получили дробное уравнение:
\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0{\small . }\)
Решим данное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.
Дробное уравнение
\(\displaystyle \frac{f(x\,)}{g(x\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(x\,)=0\) и \(\displaystyle g(x\,)=\not 0{ \small . }\)
Поэтому из уравнения
\(\displaystyle \frac{9x^{\,2}-6x+1}{9x+1}=0\)
следует, что
\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 \) и \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small .} \)
Так как \(\displaystyle 9x+1=0\) при \(\displaystyle x=-\frac{1}{9}{\small ,}\) то \(\displaystyle 9x+1=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{ \small .}\)
Решим уравнение \(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1=0 { \small .} \)
Свернем левую часть уравнения, воспользовавшись формулой квадрата разности:
\(\displaystyle a^{\,2}-2ab+b^{\,2}= (a-b\,)^2{\small . } \)
Тогда
\(\displaystyle 9x^{\,2}-6x+1= (3x\,)^2-2\cdot 3x\cdot 1+1^2=(3x-1)^2{\small . } \)
Получили уравнение
\(\displaystyle (3x-1)^2=0{\small , } \)
откуда
\(\displaystyle 3x-1=0{\small . } \)
Решая это линейное уравнение, получаем:
\(\displaystyle 3x=1{\small ; } \)
\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}{\small . } \)
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3} \) и \(\displaystyle x=\not -\frac{ 1}{ 9}{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 3}\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle \bf \frac{ 1}{ 3}{\small . } \)