Каким должно быть число \(\displaystyle x\), чтобы \(\displaystyle x \) вместе с числами \(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle -12\) образовывало геометрическую прогрессию в некотором порядке? Если таких вариантов несколько – запишите в ответ \(\displaystyle d\) сумму различных \(\displaystyle x{\small .} \)
В зависимости от положения \(\displaystyle x \) в прогрессии возможны три случая:
- прогрессия \(\displaystyle x{ \small ,}\,-3{ \small ,}\,-12{\small ; } \)
- прогрессия \(\displaystyle -3{ \small ,}\,x{\small , }\,-12{ \small ;} \)
- прогрессия \(\displaystyle -3{ \small ,}\,-12{ \small ,}\,x{\small . } \)
Рассмотрим по порядку эти случаи, найдя в каждом из них значение \(\displaystyle x{\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=x{ \small ,}\,b_2=-3 \) и \(\displaystyle b_3=-12 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_3 \) на \(\displaystyle b_2{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ -12}{ -3 }=4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_1=\frac{ b_2}{ q } \) и \(\displaystyle b_1=\frac{ -3}{ 4 }=-\frac{ 3}{ 4 } {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_1=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=-\frac{ 3}{ 4 } {\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=-3{ \small ,}\,b_2=x\) и \(\displaystyle b_3=-12 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small .} \) Так как \(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle -12=-3\cdot q^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^2=4{ \small ,} \)
\(\displaystyle q=2 \) или \(\displaystyle q=-2{\small .} \)
Если \(\displaystyle q=2{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=-3\cdot 2=-6{\small .} \)
Если же \(\displaystyle q=-2{ \small ,} \) то
\(\displaystyle b_2=b_1\cdot q\) и \(\displaystyle b_2=-3\cdot (-2)=6{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle b_2=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=-6\) или \(\displaystyle x=6{\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=-3{ \small ,}\,b_2=-12\) и \(\displaystyle b_3=x\)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_2 \) на \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ -12}{ -3 }=4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_3=b_2\cdot q \) и \(\displaystyle b_3=-12\cdot 4=-48 {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=-48 {\small .} \)
Таким образом, \(\displaystyle x \) может быть равен \(\displaystyle -\frac{ 3}{ 4 }{ \small ,}\,-6{ \small ,}\,6 \) или \(\displaystyle -48{\small .} \)
В ответ запишем сумму различных найденных решений:
\(\displaystyle -\frac{ 3}{ 4 }+(-6)+6+(-48)=-48{,}75{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -48{,}75{\small .} \)
В случае, если \(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle -12\) в прогрессии идут в другом порядке, получаем те же значения \(\displaystyle x{\small :}\)
- в прогрессии \(\displaystyle x{ \small ,}\,-12{ \small ,}\,-3\) получится \(\displaystyle x=-48 {\small ;} \)
- в прогрессии \(\displaystyle -12{ \small ,}\,x{\small , }\,-3 \) получится \(\displaystyle x=6\) или \(\displaystyle x=-6{\small ;} \)
- в прогрессии \(\displaystyle -12{ \small ,}\,-3{ \small ,}\,x \) получится \(\displaystyle x=-\frac{ 3}{ 4 }{\small .} \)