Дана геометрическая прогрессия: \(\displaystyle b_1{ \small ,}\, b_2{ \small ,}\, b_3{ \small ,}\, …\)
Впишите член геометрической прогрессии, чтобы выполнялось верное равенство.
Обозначим искомый член прогрессии через \(\displaystyle b_k{\small .} \) Тогда по условию
\(\displaystyle b_{10} \cdot b_{14}=b_{9}\cdot b_k{\small .}\)
Выразим отсюда \(\displaystyle b_k{\small : } \)
\(\displaystyle b_k= \frac{b_{10} \cdot b_{14} }{ b_{9} }\)
Запишем \(\displaystyle b_{10}{ \small ,}\, b_{14} \) и \(\displaystyle b_{9} \) через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small :} \)
\(\displaystyle b_{10} = b_1\cdot q^{9}{ \small ,}\,b_{14} = b_1\cdot q^{13}\) и \(\displaystyle b_{9} = b_1\cdot q^{8}{\small .}\)
Подставляя в равенство для \(\displaystyle b_k{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle b_k= \frac{(b_1\cdot q^{9}) \cdot (b_1\cdot q^{13}) }{ b_1\cdot q^{8}}{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_k= b_1\cdot q^{9+13-8}{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_k= b_1\cdot q^{14}{ \small .}\)
Но по формуле для n-го члена
\(\displaystyle b_1\cdot q^{14}=b_{15}{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle b_k= b_{15}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle b_{10} \cdot b_{14}=b_{9}\cdot {\bf b_{15}}{\small .} \)