Skip to main content

Теория: Задачи на проценты и прямую пропорциональную зависимость

Задание

Цена кофейного сервиза была повышена на \(\displaystyle 570\) рублей и в результате составила \(\displaystyle 130\%\) от его начальной цены. Сколько стоил кофейный сервиз до повышения цены?
 

рублей

Решение

Первый способ

Обозначим за \(\displaystyle x\)рублей цену кофейного сервиза до повышения цены. 

Тогда \(\displaystyle x+570\)рублей – цена сервиза после повышения цены.

Цена кофейного сервиза после повышения цены составила \(\displaystyle 130\%\) от цены кофейного сервиза до ее повышения.

Значит, обозначая исходную цену сервиза за \(\displaystyle 100\%{ \small ,}\) можно записать соотношение:
 

 Цена в рубляхЦена в процентах
До повышения\(\displaystyle \color{red}{ \Big\downarrow}\)\(\displaystyle x\)руб.\(\displaystyle 100\%\)\(\displaystyle \color{red}{ \Big\downarrow}\)
После повышения\(\displaystyle x+570\)руб.\(\displaystyle 130\%\)


Если цена сервиза увеличивается в несколько раз, то и соответствующий процент увеличивается во столько же раз. 

Значит, зависимость между ценой сервиза и ее процентом является прямо пропорциональной.

Запишем пропорцию: 

\(\displaystyle \frac{x}{x+570}=\frac{100}{130}\small.\)

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

 \(\displaystyle x\cdot 130=(x+570)\cdot 100{\small .}\)

Находим \(\displaystyle x{\small:}\)

\(\displaystyle x\cdot 130=100\cdot x+57000{ \small ,}\)

\(\displaystyle 30\cdot x= 57000{\small .}\)

Cледовательно,

\(\displaystyle x=\frac{57000}{30}=\frac{5700}{3}=\frac{57\cdot 100}{3}=1900{\small .}\)

Ответ:  \(\displaystyle 1900\)рублей.

Второй способ

Обозначим за \(\displaystyle x\)рублей цену кофейного сервиза до повышения цены. 

Тогда \(\displaystyle x+570\)рублей – цена сервиза после повышения цены.

Цена кофейного сервиза после повышения цены составила \(\displaystyle 130\%\) от цены кофейного сервиза до ее повышения.

Значит, обозначая исходную цену сервиза за \(\displaystyle 100\%{ \small ,}\) можно записать соотношение:
 

\(\displaystyle a=x\)рублей соответствует \(\displaystyle b=100\%{ \small ,}\)

\(\displaystyle c=x+570\)рублей соответствует \(\displaystyle d=130\%{\small .}\)
 

Здесь соотносятся величины: цена сервиза и проценты.

Данное соотношение является прямой пропорциональной зависимостью, так как при увеличении цены сервиза в несколько раз соответствующий процент также увеличится в то же число раз.

Воспользуемся правилом.

Правило

Пусть дана прямая пропорциональная зависимость:

величина \(\displaystyle a\) соответствует \(\displaystyle b{ \small ,}\)

величина \(\displaystyle c\) соответствует \(\displaystyle d{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{a}{ c}= \frac{ b}{ d }{\small .} \)

Или, по правилу пропорции,

\(\displaystyle a\cdot d=b\cdot c{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{x}{x+570}=\frac{100}{130}\)   и   \(\displaystyle x\cdot 130=(x+570)\cdot 100{\small .}\)

Находим \(\displaystyle x{\small:}\)

 \(\displaystyle x\cdot 130=(x+570)\cdot 100{ \small ,}\)

\(\displaystyle x\cdot 130=100\cdot x+57000{ \small ,}\)

\(\displaystyle 30\cdot x= 57000{\small .}\)

Cледовательно,

\(\displaystyle x=\frac{57000}{30}=\frac{5700}{3}=\frac{57\cdot 100}{3}=1900{\small .}\)

Ответ:  \(\displaystyle 1900\)рублей.