Skip to main content

Теория: 01 Числовые выражения (квадратные корни)

Задание

Найдите значение выражения:

\(\displaystyle \frac{({2\sqrt{2}})^3}{\sqrt{50}}=\)

Решение

Решение 1.

Раскроем скобки в числителе дроби. Тогда по свойству степеней получаем:

\(\displaystyle \frac{({2\sqrt{2}})^3}{\sqrt{50}}=\frac{{2^3(\sqrt{2})^3}}{\sqrt{50}}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 2^3=8\) и \(\displaystyle (\sqrt{2})^3=(\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) то:

\(\displaystyle\frac{{2^3(\sqrt{2})^3}}{\sqrt{50}}=\frac{8\cdot2\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{50}}{\small.}\)

Разложим число \(\displaystyle 50\) на множители так, чтобы из одного корень извлекался нацело, и вынесем множитель из-под корня:

\(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{25\cdot2}}=\frac{16\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}{\small.}\)

Сократим полученную дробь на \(\displaystyle \sqrt{2}\):

\(\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{16}{5}=3{,}2{\small.}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle\frac{({2\sqrt{2}})^3}{\sqrt{50}}=\frac{8\cdot2\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{16\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{16}{5}=3{,}2{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 3{,}2{\small.}\)


Решение 2.

Раскроем скобки в числителе дроби. Тогда по свойству степеней получаем:

\(\displaystyle\frac{({2\sqrt{2}})^3}{\sqrt{50}}=\frac{{2^3(\sqrt{2})^3}}{\sqrt{50}}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 2^3=8\) и \(\displaystyle (\sqrt{2})^3=\sqrt{2^3}=\sqrt{8},\) то:

\(\displaystyle\frac{{2^3(\sqrt{2})^3}}{\sqrt{50}}=\frac{8\sqrt{8}}{\sqrt{50}}{\small.}\)

Частное корней одинаковой степени равно корню из частного их подкоренных выражений. Поэтому:

\(\displaystyle\frac{8\sqrt{8}}{\sqrt{50}}=8\cdot\sqrt{\frac{8}{50}}=8\sqrt{\frac{4}{25}}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{ \sqrt{ 4} }{ \sqrt{ 25} }=\frac{ 2}{ 5 },\) то

\(\displaystyle8\sqrt{\frac{4}{25}}=8\cdot \frac{2}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2{\small.}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle\frac{({2\sqrt{2}})^3}{\sqrt{50}}=\frac{{2^3(\sqrt{2})^3}}{\sqrt{50}}=\frac{{8\sqrt{8}}}{\sqrt{50}}=8\sqrt{\frac{4}{25}}=8\cdot \frac{2}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2{\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle 3{,}2{\small.}\)