Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней через точку с запятой, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+11}=2{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Уравнение вида  \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

  • Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
  • если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.

В нашем случае \(\displaystyle f(x)=x^2-8x+11\) и \(\displaystyle a=2{\small .}\) Так как \(\displaystyle 2 \ge 0{ \small ,}\) то

уравнение \(\displaystyle \sqrt{x^2-8x+11}=2\) равносильно уравнению \(\displaystyle x^2-8x+11=2^2{\small .}\)

Отсюда получаем:

\(\displaystyle x^2-8x+11=4{ \small .}\)

 Вычтем из обоих частей уравнения \(\displaystyle 4 {\small :}\)

\(\displaystyle x^2-8x+7=0{ \small .}\)

Решим полученное квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2-8x+7=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}= (-8)^2-4\cdot 7{ \small ,}\)

\(\displaystyle {\rm D}= 36{\small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{36}}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{36}}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{8-6}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{8+6}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=1{\small ;}\)\(\displaystyle x_2=7{\small .}\)

 

Ответ:\(\displaystyle \{1;\, 7\}{\small .}\)