Skip to main content

Теория: Элементарное иррациональное уравнение типа \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

Задание

Решите уравнение (запишите множество корней, если решений нет, то ответом явлется пустое множество):

\(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5{\small .}\)

Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Правило

Уравнение вида  \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

  • Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
  • если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.

\(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5{\small .}\)

В нашем случае \(\displaystyle f(x)=5\sqrt{10+x}\) и \(\displaystyle a=5{\small .}\) Так как \(\displaystyle 5 \ge 0{ \small ,}\) то

уравнение \(\displaystyle \sqrt{5\sqrt{10+x}}=5\) равносильно уравнению \(\displaystyle 5\sqrt{10+x}=5^2{\small .}\)

Отсюда получаем:

\(\displaystyle 5\sqrt{10+x}=25{ \small ,}\)

разделим обе части на \(\displaystyle 5\)

\(\displaystyle \sqrt{10+x}=5{ \small .}\)

Снова применим данное правило.

Правило

Уравнение вида  \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\)

  • Если \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(\displaystyle f(x)=a^2{ \small ,}\)
  • если \(\displaystyle a< 0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=a\) не имеет действительных решений.

В нашем случае \(\displaystyle f(x)=10+x\) и \(\displaystyle a=5{\small .}\) Так как \(\displaystyle 5 \ge 0{ \small ,}\) то

уравнение \(\displaystyle \sqrt{10+x}=5\) равносильно уравнению \(\displaystyle 10+x=5^2{\small .}\)

 

Отсюда получаем:

\(\displaystyle 10+x=25{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=15{ \small .}\)

Ответ:\(\displaystyle 15{\small .}\)