Skip to main content

Теория: Решение рациональных неравенств-1 (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5}\geqslant 0 \)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Найдем корни знаменателя. Для этого решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-3x+5=0{\small .}\)

Для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-3x+5=0\) дискриминант 

\(\displaystyle {\rm D}= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\) 

Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.

Значит, ни числитель, ни знаменатель дроби \(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5} \) нулей не имеют, то есть нужно рассматривать всю числовую ось как один промежуток:

Получаем один интервал:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)

При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\)  будет иметь один знак.


Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)

\(\displaystyle f(0)=\frac{ 1}{ 0^2-3\cdot0+5}=\frac{ 1}{5}>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)

Решения неравенства  \(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5}\geqslant0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\) положительна или равна нулю.

Так как функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\) всюду положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;+\infty){\small .}\)