Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5}\geqslant 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни знаменателя. Для этого решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-3x+5=0{\small .}\)
Для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-3x+5=0\) дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\)
Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.
Значит, ни числитель, ни знаменатель дроби \(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5} \) нулей не имеют, то есть нужно рассматривать всю числовую ось как один промежуток:
Получаем один интервал:
\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\) будет иметь один знак.
Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{ 1}{ 0^2-3\cdot0+5}=\frac{ 1}{5}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+5}\geqslant0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\) положительна или равна нулю.
Так как функция \(\displaystyle f(x)=\frac{ 1}{ x^2-3x+5}\) всюду положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;+\infty){\small .}\)