Skip to main content

Теория: Решение рациональных неравенств-1 (в стадии наполнения)

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+2 }< 0 \)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Найдем корни знаменателя. Для этого решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-3x+2=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=2\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-3x+2=0\)

Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1),\) \(\displaystyle (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\) на каждом из интервалов.

Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим знаменатель дроби на множители, используя найденные корни.

Памятка – разложение на множители квадратного трехчлена

То есть 

\(\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2){\small .}\)

Перепишем исходное неравенство в виде

\(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-1)(x-2) }\) на каждом из интервалов.

  • Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-1)(0-2) }>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1}{ (1{,}5-1)(1{,}5-2) }<0{\small .}\)
    Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
     
  • Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\) 
    \(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-1)(4-2) }>0{\small .}\)
    Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)


В итоге получаем:


Так как решения неравенства  \(\displaystyle \frac{1}{ (x-1)(x-2) }< 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, то

\(\displaystyle (1;2)\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (1;2){\small .}\)