Skip to main content

Теория: 04 Максимум и минимум (тригонометрические функции)

Задание

Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small.}\)

11
Решение

Запишем область определения для функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small.}\)

Так как \(\displaystyle \tg x\) определен только тогда, когда \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi t{\small,}\,\,k\in\mathbb{Z}{\small,}\) то область определения имеет вид

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,\frac{\pi}{2}+\pi t{\small,}\,\,t\in\mathbb{Z}{\small.}\)

1) Найдем производную функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small.}\)

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(16\text{tg} x-16x+4\pi -5\right)^{\prime}=\frac{16}{\cos^2 x}-16{\small.}\)

Перепишем \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16}{\cos^2 x}-16\) в виде дроби:

\(\displaystyle \frac{16}{\cos^2 x}-16=\frac{16-16\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)

2) Найдем корни числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16-16\cos^2 x}{\cos^2 x}{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=2\pi n{\small,}\,\, n \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi m{\small,}\,\, m \in \mathbb{Z}\) корни числителя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

\(\displaystyle x_3=\frac{\pi}{2}+2\pi k{\small,}\,\, k \in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_4=-\frac{\pi}{2}+2\pi l{\small,}\,\, l \in \mathbb{Z}\) корни знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small.}\)

3) Из корней числителя и знаменателя \(\displaystyle f^{\prime}(x)\) выберем корни, лежащие на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small.}\)

\(\displaystyle x=0\) корень, лежащий на отрезке \(\displaystyle \text{\LARGE [}-\frac{\pi}{4};\frac{\pi }{4}\text{\LARGE ]}{\small.}\)

4) Отметим на числовой прямой корни числителя и знаменателя производной. Учитывая область определения функции \(\displaystyle f(x){\small,}\) получаем:

Так как ищется наибольшее значение функции на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi }{4}\right]{\small ,}\) то получаем:

Найдем знаки производной на интервалах \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\,0\right)\) и \(\displaystyle \left(0;\, \frac{\pi}{2}\right){\small.}\)

  • на интервалах \(\displaystyle \color{green}{\left(-\frac{\pi}{2};\,0\right)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\left(0;\, \frac{\pi}{2}\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small.}\)

Отмечая знаки производной на картинке, получаем:

Значит, на интервалах \(\displaystyle {\left(-\frac{\pi}{4};\,0\right)}\) и \(\displaystyle {\left(0;\, \frac{\pi}{4}\right)}\) производная положительна:

5) Определим промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x)=16\tg x-16x+4\pi -5{\small ,}\) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)>0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle \nearrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Если для любой точки \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) производная \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)\) существует и \(\displaystyle f^{\prime}(x_0)<0{\small,}\) то

функция \(\displaystyle f(x)\) убывает \(\displaystyle \searrow\) на всем интервале \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Зная знаки производной \(\displaystyle f^{\prime}(x){\small,}\) определим промежутки возрастания и убывания \(\displaystyle f(x){\small:}\)


6) Схематично изобразим \(\displaystyle f(x)\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi }{4} \right]{\small:}\)

Видно, что функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает на всем отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi }{4} \right]{\small.}\)

Значит, наибольшее значение достигается на правом конце, в точке \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}{\small.}\) Вычислим его:

\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=16\tg \frac{\pi}{4}-16\cdot\frac{\pi}{4}+4\pi -5=16\cdot1-\cancel{4\pi}+\cancel{4\pi}-5=11{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 11{\small.}\)