Skip to main content

Теория: 06 Пересечение прямых

Задание

На рисунке изображены:

  • график функции \(\displaystyle f(x)=x+1{\small;}\)
  • график функции вида \(\displaystyle g(x)=kx +b\) для некоторых \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Данные графики пересекаются в точке \(\displaystyle A{\small.}\)

Найдите абсциссу точки \(\displaystyle A{\small.}\)
 


-12
Решение

Чтобы найти абсциссу точки пересечения прямых:

  • найдём значения неизвестных коэффициентов в уравнении прямой \(\displaystyle y=kx+b{ \small ;}\)
  • составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка пересечения прямых.


Найдём значения неизвестных коэффициентов \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) в уравнении прямой \(\displaystyle y=kx+b{ \small .}\)

На прямой \(\displaystyle y=kx+b\) отмечены точки с координатами \(\displaystyle (\color{red}{-2};\color{red}{4})\) и \(\displaystyle (\color{green}{-4};\color{green}{1}){ \small .}\)


Значит, 

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{red}{-2}\) и \(\displaystyle y=\color{red}{4}\) в уравнение \(\displaystyle y=kx+b\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{-4}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{1}\) в уравнение \(\displaystyle y=kx+b\) получим верное равенство.

Подставляя, получаем: 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{red}{4}&=k\cdot( \color{red}{-2})+ b{ \small ,}\\\color{green}{1}&=k\cdot( \color{green}{-4})+ b{ \small ,}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{4}&=-2k+ b{ \small ,}\\{1}&=-4k+ b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим эту систему.

\(\displaystyle k=1{,}5\) и \(\displaystyle b=7\)

Таким образом, уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\) имеет вид: 

 \(\displaystyle y=1{,}5x+7{ \small .}\)


Составим и решим систему уравнений, которой удовлетворяет точка \(\displaystyle A \) пересечения прямых.

\(\displaystyle A \) – точка пересечения прямых \(\displaystyle y=x+1\) и \(\displaystyle y=1{,}5x+7{ \small .}\)

Значит, координаты точки \(\displaystyle A \) удовлетворяют системе уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} y&=1{,}5x+7{ \small ,}\\ y&=x+1{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим эту систему.

\(\displaystyle x=-12\) и \(\displaystyle y=-11\) – решение данной системы

Получили, что точка пересечения прямых \(\displaystyle y=x+1\) и  \(\displaystyle y=1{,}5x+7\) – это точка \(\displaystyle А(-12;-11){ \small .}\)

В ответе требуется указать абсциссу точки пересечения. Это \(\displaystyle -12{ \small .}\)

Ответ:  \(\displaystyle -12{ \small .}\)