Skip to main content

Теория: 09 Определение коэффициентов параболы

Задание

На рисунке изображен график функции \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+1{\small.}\) Найдите значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f\left(x\right)=10{\small.}\) В ответе укажите наименьшее из полученных значений.


 

\(\displaystyle x=\)

Решение

Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=10{ \small ,}\)

  • найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
  • решим уравнение  \(\displaystyle ax^2+bx+1=10{ \small .}\)


Заметим, что графиком данной функции является парабола.

Точка \(\displaystyle ({-2};{-2})\)

  • является вершиной параболы,
  • лежит на параболе.

Пользуясь этими двумя фактами, составим систему уравнений для нахождения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)


Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-2};\color{magenta}{-2})\)  является вершиной параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+1{\small,}\) запишем условие на её абсциссу \(\displaystyle x_0=\color{magenta}{-2}{\small.}\)

Подробнее о нахождении абсциссы вершины параболы

Итак, 

\(\displaystyle \color{blue}{-2=-\frac{b}{2a}}{\small.}\)


Поскольку точка \(\displaystyle (\color{magenta}{-2};\color{magenta}{-2})\) лежит на параболе \(\displaystyle y=ax^2+bx+1{\small,}\) то  при подстановке её координат 

 \(\displaystyle x_0=\color{Magenta}{-2}\) и  \(\displaystyle y_0=\color{Magenta}{-2}\)

в уравнение 

\(\displaystyle y=ax^2+bx+1\)

получим верное равенство. 

Значит,

\(\displaystyle \color{green}{-2=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+1}{\small .}\)


Получили систему уравнений

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-2}&\color{blue}{=-\frac{b}{2a}}{ \small ,}\\[5px]\color{green}{-2}&\color{green}{=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+1}{\small .}\end{aligned}\right. \)

Решим эту систему уравнений.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=\frac{3}{4}\) и \(\displaystyle b=3 \)

Тогда наша функция имеет вид: 

\(\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x^2+3x+1{ \small .}\)

Найдём те значения \(\displaystyle x\), при которых значение нашей функции равно \(\displaystyle 10{ \small .}\)

Все такие \(\displaystyle x\) удовлетворяют уравнению

\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2+3x+1=10{\small .}\)

Приведём уравнение к стандартному виду и решим его:

\(\displaystyle \frac{3}{4}x^2+3x-9=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{1}{4}x^2+x-3=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2+4x-12=0{ \small .}\)

\(\displaystyle x_1=-6 \) и \(\displaystyle x_2=2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+4x-12=0{\small .}\)

В ответе требуется указать наименьшее из полученных значений. Это \(\displaystyle x=-6{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle x=-6{\small .}\)