В ящике \(\displaystyle 7\) красных и \(\displaystyle 4\) зеленых шаров. Наудачу извлекаются два шара. Какова вероятность того, что они будут одноцветными? Результат округлите до сотых.
Надо найти вероятность события, что оба шара одного цвета, то есть
оба шара красные или оба шара зеленые.
Так как события, что оба шара красные или оба шара зеленые, не могут произойти одновременно, то данные события несовместны, и мы можем применить правило.
Формула суммы вероятностей
Если события \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) несовместны, то есть наступление одного события исключает появление другого события, то тогда вероятность того, что наступит событие \(\displaystyle A\) или событие \(\displaystyle B{ \small ,}\) равна сумме вероятностей наступления событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle P(A+ B)=P(A)+P(B){\small .}\)
\(\displaystyle P{(\footnotesize\text{оба шара красные + оба шара зеленые}})=P{(\footnotesize \text{оба шара красные}})+P{(\footnotesize \text{оба шара зеленые}}) {\small.}\)
Способ \(\displaystyle 1\)
Всего в ящике \(\displaystyle 11\) шаров, из них \(\displaystyle 7\) красные.
Значит, вероятность "вытащить красный" шар равна \(\displaystyle \frac{7}{11}{\small.}\)
После того как вытащили первый красный шар, всего осталось \(\displaystyle 10\) шаров, из них \(\displaystyle 6\) красных.
Значит, вероятность на втором шаге "вытащить красный" шар равна \(\displaystyle \frac{6}{10}{\small.}\)
Получаем
\(\displaystyle P(\)оба шара красные\(\displaystyle )=\frac{7}{11}\cdot \frac{6}{10}=\frac{42}{110}=\frac{21}{55}{\small .}\)
Всего в ящике \(\displaystyle 11\) шаров, из них \(\displaystyle 4\) зелёные.
Значит, вероятность "вытащить зелёный" шар равна \(\displaystyle \frac{4}{11}{\small.}\)
После того как вытащили первый зелёный шар, всего осталось \(\displaystyle 10\) шаров, из них \(\displaystyle 3\) зелёных.
Значит, вероятность на втором шаге "вытащить зелёный" шар равна \(\displaystyle \frac{3}{10}{\small.}\)
Получаем
\(\displaystyle P(\)оба шара зелёные\(\displaystyle )=\frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}=\frac{12}{110}=\frac{6}{55}{\small .}\)
В результате
\(\displaystyle P(\)оба шара красные + оба шара зеленые\(\displaystyle )=P(\)оба шара красные\(\displaystyle )+P(\)оба шара зеленые\(\displaystyle)=\)
\(\displaystyle =\frac{21}{55}+\frac{6}{55}=\frac{27}{55}{\small .}\)
Способ \(\displaystyle 2\)
Число благоприятных исходов равно числу пар красных шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 7\) по \(\displaystyle 2{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!\cdot (7-2)!}=\frac{7\cdot 6}{2}=21{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех пар шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 7+4\) по \(\displaystyle 2{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{11}^{2}=\frac{11!}{2!\cdot (11-2)!}=\frac{11\cdot 10}{2}=55{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)оба шара красные\(\displaystyle )=\frac{21}{55}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу пар зеленых шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 4\) по \(\displaystyle 2{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{4\cdot 3}{2}=6{\small .}\)
Число всех исходов равно числу всех пар шаров, то есть равно числу сочетаний из \(\displaystyle 7+4\) по \(\displaystyle 2{\small .}\)
Оно равно \(\displaystyle C_{11}^{2}=\frac{11!}{2!\cdot (11-2)!}=\frac{11\cdot 10}{2}=55{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle P(\)оба шара зеленые\(\displaystyle )=\frac{6}{55}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle P{(\footnotesize\text{оба шара красные + оба шара зеленые}})=P{(\footnotesize \text{оба шара красные}})+P{(\footnotesize \text{оба шара зеленые}}) = \)
\(\displaystyle =\frac{21}{55}+\frac{6}{55}=\frac{21+6}{55}=\frac{27}{55}≈0{,}490\ldots{\small .}\)
Округляя до сотых, получаем:
\(\displaystyle 0{,}490\ldots ≈ 0{,}49 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}49{\small .}\)