Найдите угол \(\displaystyle ACB {\small ,}\) если углы \(\displaystyle ADB\) и \(\displaystyle DBE\) равны соответственно \(\displaystyle 58^\circ\) и \(\displaystyle 20^\circ{\small .}\) Ответ дайте в градусах.
\(\displaystyle \angle ACB=\)\(\displaystyle ^{\circ}\)
Вписанные углы \(\displaystyle \angle ADB\) и \(\displaystyle \angle DBE\) опираются на дуги \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle DE \) соответственно.
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle ADB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}{\small ,}\) \(\displaystyle \angle DBE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{DE}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=2\angle ADB=116^{\circ}{\small ,}\) \(\displaystyle \overset{\smile}{DE}=2\angle DBE=40^{\circ}{\small .}\)
По теореме об угле между секущими:
Угол между секущими
Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, лежащих между секущими.
получаем:
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{DE}=58^{\circ}-20^{\circ}=38^{\circ}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 38^{\circ} {\small .}\)