Skip to main content

Теория: 01 Определение логарифма и его основное свойство

Задание

Пусть \(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) и \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1){\small.}\)

Найдите

\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{b}-\left(\sqrt{2}\right)^a=\)
2
Решение

Подставим \(\displaystyle a=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)\) и \(\displaystyle b=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)\) в выражение \(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{b}-\left(\sqrt{2}\right)^a.\)

Получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}{\small.}\)

Упростим каждое из слагаемых.

Для этого воспользуемся основным свойством логарифма:

Правило

Основное свойство логарифма

\(\displaystyle \color{green}{a}^{\log_\color{green}{a} \color{blue}{b}} = \color{blue}{b}{\small.}\)

Тогда 

  • \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}+1})}= \color{blue}{\sqrt{5}+1}{\small;} \)
     
  • \(\displaystyle \left(\color{green}{\sqrt{2}}\right)^{\log_{\color{green}{\sqrt{2}}}(\color{blue}{\sqrt{5}-1})}= \color{blue}{\sqrt{5}-1}{\small.} \)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}+1)}-\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{5}-1)}={\sqrt{5}+1}-({\sqrt{5}-1})={\cancel{\sqrt{5}}+1}-\cancel{\sqrt{5}}+1=2{\small.} \)


Ответ: \(\displaystyle 2{\small.}\)