Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (числа)

Задание

Найдите показатели степени:

\(\displaystyle 7\,\)
\(\displaystyle = \frac{7^{\,5}}{7^{\,8}} =\)
\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle 7\,\)
Решение

Мотивация определения отрицательной степени

Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:

\(\displaystyle \frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=\frac{7^{\,5}:7^{\,5}}{7^{\,8}:7^{\,5}}=\frac{1}{7^{\,8}:7^{\,5}}=\frac{1}{7^{\,8\,-\,5}}=\frac{1}{7^{\,3}}.\)

 

Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:

\(\displaystyle \frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=7^{\,5\:-\:8}=7^{\,-3}.\)

В этом случае с одной стороны

\(\displaystyle \frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=\frac{1}{7^{\,3}},\)

а с другой стороны

\(\displaystyle \frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=7^{\,-3},\)

и тогда выполнялось бы равенство:

\(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{1}{7^{\,3}}.\)

На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.

Определение

Отрицательная степень числа

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:

\(\displaystyle a^{\,-n}=\frac{1}{a^{\: n}}.\)

Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то

\(\displaystyle 7^{\,5-8}=\frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=\frac{1}{7^{\,8-5}},\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=\frac{1}{7^{\,3}}.\)

Ответ: \(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{7^{\,5}}{7^{\,8}}=\frac{1}{7^{\,3}}.\)