Найдите показатель степени:
| \(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}= 6\,\) |
Для того чтобы привести данную дробь к обыкновенной, мы трижды используем определение отрицательной степени.
Отрицательная степень числа
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любого целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{a^{\,n}}=a^{\,-n}}{\small.}\)
Расставим скобки в данной дроби (которые для удобства опускаются):
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{6^{\,-3}}}\right)}\Biggr)}{\small.}\)
Преобразуем первую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:
\(\displaystyle \frac{1}{\color{blue}{6^{\,-3}}}=6^{\,-(-3)}=\color{green}{6^{\,3}}{\small.}\)
Подставляя в нашу дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\color{blue}{\frac{1}{6^{\,-3}}}\right)}\Biggr)}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}\right)}{\small.}\)
Преобразуем вторую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:
\(\displaystyle \frac{1}{\color{green}{6^{\,3}}}=\color{red}{6^{\,-3}}{\small.}\)
Опять подставляя в нашу дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}\right)}=\frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}{\small.}\)
Снова используя определение, получаем, что
\(\displaystyle \frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}=6^{\, -(-3)}=6^{\,3}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\dfrac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{blue}{\frac{1}{6^{\,-3}}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{6^{\,3}}}}=\frac{1}{\color{red}{6^{\,-3}}}=6^{\,3}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 6^{\,3}{\small.}\)