Упростите рациональное алгебраическое выражение:
1. Выполним сначала действие в скобках: найдём разность дробей \(\displaystyle \frac{a-3}{a+3}\) и \(\displaystyle \frac{a+3}{a-3}{\small .}\)
Приведём их к общему знаменателю \(\displaystyle (a+3)(a-3){\small :}\)
\(\displaystyle \frac{a-3}{a+3} - \frac{a+3}{a-3} = \frac{(a-3)(a-3) - (a+3)(a+3)}{(a+3)(a-3)}=\frac{(a-3)^2 - (a+3)^2}{(a+3)(a-3)}{\small .} \)
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы, и приведём подобные:
\(\displaystyle \frac{(a-3)^2 - (a+3)^2}{(a+3)(a-3)} = \frac{a^2 - 6a + 9 - (a^2 + 6a + 9)}{(a+3)(a-3)} =\)
\(\displaystyle = \frac{a^2 - 6a + 9 - a^2 - 6a - 9}{(a+3)(a-3)} = \frac{-12a}{(a+3)(a-3)}{\small .} \)
2. Теперь преобразуем делитель \(\displaystyle \frac{5a}{a^2-9}{\small .}\)
Разложим знаменатель дроби на множители, используя формулу разности квадратов:
\(\displaystyle \frac{5a}{a^2-9} = \frac{5a}{(a+3)(a-3)}{\small .} \)
3. Выполним деление полученных дробей, заменяя деление на дробь умножением на обратную дробь:
\(\displaystyle \frac{-12a}{(a+3)(a-3)} : \frac{5a}{(a+3)(a-3)} =\)
\(\displaystyle =\frac{-12a}{(a+3)(a-3)} \cdot \frac{(a+3)(a-3)}{5a} = \frac{-12a(a+3)(a-3)}{5a(a+3)(a-3)}. \)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle \frac{-12\color{Blue}a \red{(a+3)}\color{Green}{(a-3)}}{5\color{Blue}a\red{(a+3)}\color{Green}{(a-3)}} = \frac{-12}{5}= \frac{-24}{10}=-2{,}4 {\small .}\)
Таким образом, окончательный ответ: \(\displaystyle -2{,}4 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -2{,}4 {\small .}\)