Упростите рациональное алгебраическое выражение:
Отдельно преобразуем выражения в числителе и в знаменателе дроби.
1. Преобразуем выражение в числителе. Получим:
\(\displaystyle \frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy}{\small.}\)
2. Преобразуем выражение в знаменателе. Получим:
\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}{\small.}\)
3. Подставим полученные выражения в числитель и в знаменатель исходной дроби.
Дробную черту заменим знаком деления:
\(\displaystyle \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy}:\frac{y-x}{xy}{\small.}\)
Заменим деление на дробь умножением на обратную дробь. Получим:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy}:\frac{y-x}{xy}&=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy}\cdot\frac{xy}{y-x}=\\[10px]=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2) \, \cancel{xy}}{\cancel{xy} \, (y-x)}&=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)} {y-x}{\small.}\end{aligned}\)
Заметим, что многочлены \(\displaystyle x-y\) и \(\displaystyle y-x\) отличаются только знаком. Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)} {y-x}=\frac{\cancel{(x-y)} \, (x^2+xy+y^2)} {-\cancel{(x-y)}}&=\frac{(x^2+xy+y^2)} {-1}=\\[10px]&=-(x^2+xy+y^2){\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle -(x^2+xy+y^2){\small.}\)