Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
\(\displaystyle * \cdot(x-y+z)=x^2z-xyz+xz^2{\small .}\)
Требуется заменить звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
\(\displaystyle * \cdot(x-y+z)=x^2z-xyz+xz^2{\small .}\)
Посмотрим на многочлен в левой части. Видим, что выражение в скобках уже не содержит общих множителей.
Значит, требуется вынести за скобку общий множитель в выражении в правой части тождества.
Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle x^2z{\small ,} \, -xyz\) и \(\displaystyle xz^2\) как произведение общих переменных в наименьшей степени.
Выберем общие переменные с наименьшим показателем степени: это \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle z {\small .}\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2z-xyz+xz^2\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle xz {\small :}\)
\(\displaystyle x^2z-xyz+xz^2=xz\left(\frac{x^2z}{xz}-\frac{xyz}{xz}+\frac{xz^2}{xz}\right)\)
и, следовательно,
\(\displaystyle x^2z-xyz+xz^2=xz\left(x-y+z\right){\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle \red{*} \cdot(\blue{x-y+z})=\red{xz}\cdot(\blue{x-y+z}){\small ,}\)
поэтому \(\displaystyle * =xz{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle xz\)