Теория: 07 Треугольник Паскаля

В первую клетку ряда можно прийти только из стоящей над ней клетки предыдущего ряда. Но в эту клетку существует ровно \(\displaystyle 1\) путь, поэтому и в первую клетку нашего ряда можно прийти только одним способом.

Аналогично существует только один путь и в последнюю клетку ряда:

Рассмотрим, сколькими способами можно добраться в среднюю клетку ряда. Попасть в эту клетку можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В свою очередь, в каждую из этих клеток можно прийти только одним способом.

Значит, количество способов добраться до средней клетки второго ряда составляет:

\(\displaystyle 1+1=2{\small.}\)

В первую клетку ряда можно прийти только из стоящей над ней клетки предыдущего ряда. В эту клетку существует ровно \(\displaystyle 1\) путь, поэтому и в первую клетку третьего ряда можно прийти только одним способом.

Аналогично существует только один путь и в последнюю клетку ряда:

Рассмотрим, сколькими способами можно добраться во вторую клетку ряда. Попасть в эту клетку можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, одним или двумя способами.

Значит, количество способов добраться до второй клетки ряда составляет:

\(\displaystyle 1+2=3{\small.}\)

Аналогично найдем число способов добраться до третьей клетки:

Оно равно

\(\displaystyle 2+1=3{\small.}\)

В первую клетку ряда можно прийти только из стоящей над ней клетки предыдущего ряда. В эту клетку существует ровно \(\displaystyle 1\) путь, поэтому и в первую клетку четвертого ряда можно прийти только одним способом.

Аналогично существует только один путь и в последнюю клетку ряда:

Рассмотрим, сколькими способами можно добраться во вторую клетку ряда. Попасть в эту клетку можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, одним или тремя способами.

Значит, количество способов добраться до второй клетки ряда составляет:

\(\displaystyle 1+3=4{\small.}\)

Попасть в третью клетку ряда можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В каждую из этих клеток можно прийти тремя способами.

Значит, количество способов добраться до третьей клетки ряда составляет:

\(\displaystyle 3+3=6{\small.}\)

Попасть в четвертую клетку ряда можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, тремя способами или одним способом.

То есть всего способов

\(\displaystyle 3+1=4{\small.}\)

В первую клетку ряда можно прийти только из стоящей над ней клетки предыдущего ряда. В эту клетку существует ровно \(\displaystyle 1\) путь, поэтому и в первую клетку пятого ряда можно прийти только одним способом.

Аналогично существует только один путь и в последнюю клетку ряда:

Рассмотрим, сколькими способами можно добраться во вторую клетку ряда. Попасть в эту клетку можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, одним или четырьмя способами.

Значит, количество способов добраться до второй клетки ряда составляет:

\(\displaystyle 1+4=5{\small.}\)

Попасть в третью клетку ряда можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, четырьмя или шестью способами.

Значит, количество способов добраться до третьей клетки ряда составляет:

\(\displaystyle 4+6=10{\small.}\)

Попасть в четвертую клетку ряда можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, шестью или четырьмя способами.

То есть всего способов

\(\displaystyle 6+4=10{\small.}\)

Попасть в пятую клетку ряда можно из любой из двух, стоящих над ней клеток. В эти клетки можно прийти, соответственно, четырьмя способами или одним способом.

То есть всего способов

\(\displaystyle 4+1=5{\small.}\)