Касательные \(\displaystyle CA\) и \(\displaystyle CB\) к окружности с центром \(\displaystyle O\) образуют угол \(\displaystyle ACB \small,\) равный \(\displaystyle 90^\circ \small.\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AB \small,\) если \(\displaystyle CA=4\sqrt{2} \small.\)
По свойству отрезков касательных
Свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки
Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны.
\(\displaystyle CB=CA \)
получаем:
\(\displaystyle CB=CA=4\sqrt{2} {\small .} \)
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник \(\displaystyle CAB {\small .}\)
По теореме Пифагора
\(\displaystyle AB^2=AC^2+CB^2 {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle AB^2=(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2=32+32=64 {\small .}\)
Так как длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle AB=8 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8 {\small .}\)