Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 3 \small,\) считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Пусть \(\displaystyle ABC\) – равнобедренный треугольник с боковыми сторонами \(\displaystyle AC=CB \small,\) а вписанная окружность касается стороны \(\displaystyle AC\) в точке \(\displaystyle P \small.\)
По условию \(\displaystyle CP=5 \small,\) \(\displaystyle AP=3 \small.\) Надо найти сторону \(\displaystyle AB \small.\)
Обозначим через \(\displaystyle Q\) и \(\displaystyle H\) точки касания вписанной окружности со сторонами \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle AB\) соответственно.
По свойству отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки,
\(\displaystyle CQ=CP {\small,} \quad PA=AH {\small,} \quad HB=BQ {\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle CQ=CP=5 \small,\)
\(\displaystyle AH=AP=3 \small.\)
Так как
\(\displaystyle AC=CB\) и \(\displaystyle CP=CQ \small,\)
то
\(\displaystyle QB=PA=3 \small.\)
Следовательно,
\(\displaystyle HB=BQ=3 {\small .} \)
Тогда в исходном треугольнике
\(\displaystyle AB=AH+HB=3+3=6 \small,\)
\(\displaystyle BC=AC=AP+PC=3+5=8 \small,\)
\(\displaystyle P_{ABC}=FC+DC+FD=8+8+6=22 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 22{\small .}\)