Используя формулу вычисления суммы геометрической прогрессии, найдите сумму
Посмотрим на выражение
\(\displaystyle S=1+2+2^2+\ldots+2^{8}\small.\)
Это сумма первых девяти членов геометрической прогрессии
\(\displaystyle 1{\small;}\ \ 2{\small;}\ \ 2^2{\small;}\ \ldots{\small;}\ \ 2^{8}\small.\)
Первый член этой геометрической прогрессии \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q=2\small.\)
Упростим выражение, используя формулу суммы геометрической прогрессии.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{9}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2}{\small:}\)
\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-\color{green}{2}^{\color{red}{9}}\right)}{1-\color{green}{2}}=\frac{1-512}{-1}=511\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 511{\small .} \)