Используя формулу вычисления суммы геометрической прогрессии, найдите сумму
\(\displaystyle S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{9}}\small.\)
Запишем последовательность, составленную из слагаемых данной суммы:
\(\displaystyle 1{\small;}\,\,\frac{1}{2}{\small;}\,\,\frac{1}{2^2}{\small;}\,\,\frac{1}{2^3}{\small;}\,\ldots{\small;}\,\frac{1}{2^{9}}\small.\)
Каждый последующий элемент получен из предыдущего умножением на \(\displaystyle \frac{1}{2}\small.\)
Значит, это геометрическая прогрессия, в которой \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q=\frac{1}{2}\small.\)
Найдем сумму первых десяти членов этой прогрессии, используя формулу
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{10}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{\frac{1}{2}}{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}1&+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{9}=S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-\left(\color{green}{\dfrac{1}{2}}\right)^{\color{red}{10}}\right)}{1-\color{green}{\dfrac{1}{2}}}=\\[5px]&=\frac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}}{\dfrac{1}{2}}=\left( 1-\dfrac{1}{1024}\right) \cdot \dfrac{2}{1}=\dfrac{1024-1}{1024} \cdot \dfrac{2}{1}=\dfrac{1023}{512} \small.\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1023}{512}{\small .} \)