Используя формулу вычисления суммы геометрической прогрессии, найдите сумму
Посмотрим на выражение
\(\displaystyle S=1-2+2^2+\ldots-2^{11}\small.\)
Это сумма первых двенадцати членов геометрической прогрессии
\(\displaystyle 1{\small;}-2{\small;}\,\,2^2{\small;}\,\ldots{\small;}\,-2^{11}\small.\)
Первый член этой геометрической прогрессии \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q=-2\small.\)
Упростим выражение, используя формулу суммы геометрической прогрессии.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{12}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{-2}{\small:}\)
\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-(\color{green}{-2})^{\color{red}{12}}\right)}{1-(\color{green}{-2})}=\frac{1-4096}{3}=-1365\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -1365{\small .} \)