В первый день похода автотуристы проехали \(\displaystyle 500\)км, а затем каждый день проезжали на \(\displaystyle 20 \%\) больше, чем в предыдущий.
Сколько километров проехали туристы за четыре первых дня похода?
В первый день похода автотуристы проехали \(\displaystyle 500\)км.
\(\displaystyle 500 \cdot 1{,}2\)км.
За третий день пройденное расстояние было на \(\displaystyle 20 \%\)больше, чем за второй, и составило
\(\displaystyle (500 \cdot 1{,}2) \cdot 1{,}2= 500 \cdot 1{,}2^{\,2}\)км.
Аналогично, расстояние, которое проехали туристы за четвертый день, составило
\(\displaystyle 500 \cdot 1{,}2^{\,3}\)км,
и так далее.
Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией
\(\displaystyle 500{\small;}\) \(\displaystyle 500 \cdot 1{,}2{\small;}\) \(\displaystyle 500 \cdot 1{,}2^2{\small;}\) \(\displaystyle 500 \cdot 1{,}2^3{\small;} \) \(\displaystyle ...\)
Расстояние, которое проехали туристы за четыре дня, равно сумме четырёх первых членов прогрессии.
По формуле суммы \(\displaystyle n\)членов геометрической прогрессии
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} }\)
при \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{4}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{500}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{1{,}2}=\color{green}{\frac{6}{5}}\) получаем:
\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{500}\cdot \left(1-\left( \color{green}{\dfrac{6}{5}} \right)^{\color{red}{4}}\right)}{1-\color{green}{\color{green}{\dfrac{6}{5}}}}=\frac{500 \cdot \left(1-\dfrac{1296}{625}\right)}{-\dfrac{1}{5}}=\frac{500 \cdot 671 \cdot5}{625}=2684\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 2684{\small .}\)
Заметим, что что переход от десятичных дробей к обыкновенным часто упрощает вычисления.