Проверьте, является ли функция \(\displaystyle f(x)=2x^2-x^4\) чётной.
Выберите верный ответ:
Требуется проверить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=2x^2-x^4\) чётной.
Функция \(\displaystyle y=f(x)\) называется чётной, если выполнены следующие условия:
- область определения функции симметрична относительно начала координат;
- для любого \(\displaystyle x\) из области определения функции справедливо равенство
\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)
Пусть
- область определения функции \(\displaystyle f(x)\) является множеством, симметричным относительно нуля;
- найдено \(\displaystyle f(-x){\small . } \)
Тогда функция является четной, если \(\displaystyle f(-x)=f(x){\small . } \)
Таким образом, для установления четности достаточно найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства.
Функция \(\displaystyle f(x)=2x^2-x^4\) определена для любых \(\displaystyle x{\small,}\) поэтому достаточно проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=f(\color{red}{x}) {\small.}\)
Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\) вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x}){\small .}\)
Для удобства перепишем выражение для функции со скобками:
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=2\color{red}{ x}^2-\color{red}{ x}^4=2 \cdot (\color{red}{ x})^2-(\color{red}{ x})^4{\small,} \)
а затем уже подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=2 \cdot (\color{blue}{ -x})^2-(\color{blue}{ -x})^4=2x^2-x^4{\small.} \)
Таким образом:
| была функция | \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=2x^2-x^4{ \small ,} \) | |
| после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили | \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=2x^2-x^4{\small.}\) |
Значит,
\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)
Следовательно, функция \(\displaystyle f(x)=2x^2-x^4\) является чётной.
Ответ: функция является чётной