Skip to main content

Теория: 1 (дробно-рациональные - область определения, проверка четности или нечетности)

Задание

Проверьте, является ли функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+x^4}\) чётной.

Выберите верный ответ:

Решение

Требуется проверить, является ли функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+x^4}\) чётной. 

Воспользуемся определением чётной функции.

Определение

Функция \(\displaystyle y=f(x)\) называется чётной, если выполнены следующие условия:

  • область определения функции симметрична относительно начала координат;
  • для любого \(\displaystyle x\) из области определения функции справедливо равенство

\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)

Замечание / комментарий

Таким образом, для установления чётности функции необходимо:

  • найти область определения функции и убедиться в её симметричности относительно нуля;
  • найти \(\displaystyle f(-x)\) и проверить выполнение равенства \(\displaystyle f(-x)=f(x){\small . } \)

Область определения функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+x^4}\)  симметрична относительно нуля.

Функция \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+x^4}\) определена при

\(\displaystyle x^2+x^4 \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)

Решим полученное неравенство:

\(\displaystyle x^2+x^4 \ \cancel{=}\ 0 {\small,}\)

\(\displaystyle x^2( x^2+1)\ \cancel{=}\ 0 {\small,}\)

Значит, 

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x^2 \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\\&\kern{-1em}x^2+1 \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\end{cases}\)

\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}x \ \cancel{=}\ 0{\small ,}\\&\kern{-1em}x^2 \ \cancel{=}\ -1{\small .}\end{cases}\)

Так как второе неравенство сиcтемы выполнено при любых значениях \(\displaystyle x{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle x \ \cancel{=}\ 0 {\small.}\)

Изобразим найденную область определения на числовой оси:

Видим, что данное множество симметрично относительно нуля. 

Равенство \(\displaystyle f(-x)=f(x) \) выполнено.

Найдем \(\displaystyle f(-x) {\small.}\)

Подставим \(\displaystyle \color{blue}{-x}\)  вместо \(\displaystyle \color{red}{x}\) в \(\displaystyle f(\color{red}{x})=\frac{1}{\color{red}{ x}^2+\color{red}{ x}^4}{\small .}\)

Получим:

\(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=\frac{1}{(\color{blue}{ -x})^2+(\color{blue}{ -x})^4}=\frac{1}{x^2+x^4}{\small.} \)

Таким образом:

была функция \(\displaystyle \ f(\color{red}{ x})=\frac{1}{x^2+x^4}{ \small ,} \)
после подстановки \(\displaystyle \color{blue}{-x} \) вместо \(\displaystyle \color{red}{ x} \) получили \(\displaystyle f(\color{blue}{-x})=\frac{1}{x^2+x^4}{\small.}\)

 

Видим, что

\(\displaystyle f(-x)=f(x) {\small.}\)

Значит, функция  \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+x^4}\) является чётной.

Ответ: функция является чётной