Можно ли представить число \(\displaystyle \frac{21}{77}\) в виде конечной десятичной дроби?
Дробь \(\displaystyle \frac{21}{77}\) можно сократить на \(\displaystyle 7\small:\)
\(\displaystyle \frac{21}{77}=\frac{7\cdot 3}{7\cdot 11}=\frac{3}{11}\small.\)
Разделим \(\displaystyle 3\) на \(\displaystyle 11\) в столбик:
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3 | |||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{3}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | \(\displaystyle 11\) | ||||||||||
| Вычитаем 22 из 30 | Шаг 1 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) | \(\displaystyle \color{blue}{7}\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle \dots\) | ||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||
| Вычитаем 77 из 80 | Шаг 2 | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7\) | ||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{3}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | |||||||||||
| Вычитаем 22 из 30 | Шаг 3 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2\) | ||||||||||
\(\displaystyle 8\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle \dots\) |
Заметим:
- на первом шаге \(\displaystyle 30\) делили на \(\displaystyle 11{\small,}\) на втором шаге \(\displaystyle 80\) делили на \(\displaystyle 11{\small,}\) в частное записали цифры \(\displaystyle \color{blue}{27}{\small;}\)
- на третьем шаге \(\displaystyle 30\) делили на \(\displaystyle 11{\small,}\) на четвертом шаге \(\displaystyle 80\) делили на \(\displaystyle 11{\small,}\) в частное запишем цифры \(\displaystyle \color{red}{27}{\small;}\)
- далее опять нужно будет \(\displaystyle 30\) делить на \(\displaystyle 11 \ldots\)
Этот процесс будет повторяться непрерывно, и на каждой паре шагов в частное будем записывать последовательность цифр \(\displaystyle 27{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{3}{11}=0,\color{blue}{27}\color{red}{27}\ldots\)
или
\(\displaystyle \frac{3}{11}=0,(27),\)
получается бесконечная периодическая дробь.
Значит, дробь \(\displaystyle \frac{3}{11}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
Тогда и \(\displaystyle \frac{21}{77}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: нельзя.