Решите уравнение:
\(\displaystyle |x^2-4x+5|=1{\small.}\)
В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания.
Например:
- если уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=5{\small ,}\) то в ответе указываем \(\displaystyle 2{\small ,}3{\small ,}5\)
- если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем \(\displaystyle 0\)
Для решения уравнения
\(\displaystyle |x^2-4x+5|=1\)
воспользуемся правилом.
Уравнение с модулем
Если \(\displaystyle a> 0{\small , }\) то уравнение
\(\displaystyle |f(x\,)\,|=a\)
равносильно двум уравнениям
\(\displaystyle f(x\,)= a \) и \(\displaystyle f(x\,)={\bf -}a{\small . } \)
В нашем случае \(\displaystyle f(x\,)=x^2-4x+5 \) и \(\displaystyle a=1{\small . } \)
Так как \(\displaystyle 1 > 0{\small , } \) то, применив правило, получаем два квадратных уравнения:
\(\displaystyle x^2-4x+5=1\) и \(\displaystyle x^2-4x+5=-1{\small . } \)
Преобразуем полученные уравнения к виду
\(\displaystyle x^2-4x+4=0{\small ,}\) \(\displaystyle x^2-4x+5=0 \)
и решим их.
Значит, исходное уравнение имеет один корень: \(\displaystyle x=2{\small .}\)
Поэтому в ответе укажем:
\(\displaystyle 1{\small ,}2\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small ,}2 {\small .}\)